![[信号与系统个人笔记]第一章 信号与系统的基本概念](/0.jpg)
Update
2025.8.20
1.1信号的描述与分类
1.2基本信号与其时域特性 part1
2025.8.21
1.2基本信号与其时域特性 part2
2025.8.22
1.3 信号的基本运算
1.4 系统的描述与分类
2025.8.23
1.5 线性时不变系统的性质
1.1 信号的描述与分类
信号的描述
信号可以用函数解析式描述 ，也可以用波形图描述
\[S_{AM}(t)=[A_{0}+m(t)]\cos \omega_{c}t
\]
信号的分类
确定信号和随机信号
确定信号可以用确定的函数 或者波形表示
随机信号要用概率密度、相关函数、谱密度等数学 模型进行分析（随机过程）
连续时间信号和离散时间信号
名称
时间取值
幅度取值
连续时间信号
连续（定义域）
可以连续、可以不连续
离散时间信号
离散（定义域）
可以连续、可以不连续
模拟信号
连续
连续
数字信号
离散
离散
时间连续或离散的含义是定义域的连续或离散，因此需要和数学中的概念作区分
周期信号和非周期信号
周期信号指的是每隔一定时间\(T\)（或者整数\(N\)）按相同规律重复变化的信号
连续周期信号：\(f(t)=f(t+mT),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots\)
离散周期信号：\(f(t)=f(t+mN),m=0,\pm 1,\pm 2,\dots\)
非周期信号不具备周期性，令周期信号的周期趋于无穷大\(T\to \infty\)，则周期信号变为非周期信号
两个连续周期信号之和的周期性判定
若两个连续信号的周期之比为有理数，设\(\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{P}{Q}\)，其中\(P,Q\)为互质的整数，则和信号为周期信号，周期为\(T_{1},T_{2}\)的最小公倍数\(lcm(T_{1},T_{2})\)
\[T=QT_{1}=PT_{2}
\]
例1
判断下列信号是否是周期信号，如果是则求其周期：
\(1)f(t)=\sin \pi t+2\cos{2}t\quad 2)f(t)=\sin{2}t+\cos 3t\)
解：
对于1），由于第一项的周期不含\(\pi\)，而第二项含有\(\pi\)，其周期之比为无理数，故不是周期信号；
对于2），\(T_{1}=\pi,T_{2}=\frac{2\pi}{3}, \frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{3}{2},T=2T_{1}=2\pi\)
能量信号与功率信号
信号的能量与功率
设信号的能量为\(E\)，功率为\(P\)：
对于连续信号而言：
\[\begin{align}
&E=\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt=\lim_{ T \to \infty }\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|f(t)|^2dt \\ \\
&P=\lim_{ T \to \infty } \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|f(t)|^2
dt\end{align}
\]
能量即对信号的模的平方积分，考虑到存在复数信号，所以不写成\(f^2(t)\)
功率即能量除以时间，取一段时间\(T\)，计算在这段时间内的能量积分\(E_{T}\)，平均功率即\(\frac{E_{T}}{T}\)，令\(T\to \infty\)即可得到平均功率
对于离散信号而言：
\[\begin{align}
&E=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|f(k)|^2=\lim_{ N \to \infty }\sum_{k=-N}^{N}|f(k)|^2 \\ \\
&P=\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{2N+1}\sum_{k=-N}^{N}|f(k)|^2
\end{align}
\]
这与连续信号的两个表达式非常相似，积分换为求和即可
注意功率的分母为\(2N+1\)，这是因为\(\sum_{k=-N}^{N}\)中求和了\(2N+1\)个点，1来自于\(k=0\)一点
能量信号与功率信号
能量信号：能量为有界值，即\(0 功率信号：功率为有界值，即\(0 结论：周期信号都是功率信号，时域有限信号都是能量信号！ 特别地，有些信号既不是能量信号，也不是功率信号，如\(f(t)=e^{-t}\) 例2 判断下列信号是能量信号还是功率信号，并求能量或功率 \(f(t)=10\cos(3t-\theta)\) 余弦函数为周期函数，必然是功率信号 由高中知识我们知道，交流电\(I=A\sin(\omega t+k)\)的有效值为\(\hat{I}=\frac{A}{\sqrt{ 2 }}\)，则功率可以使用有效值计算：\(P=\hat{I}^2R=\hat{I}^2·1\Omega=\frac{A^2}{2}\) 因此\(P=\frac{A^2}{2}=50W\) 该结论适用于所有正余弦信号！ 当然本题也可以直接套定义进行积分，化二倍角即可 \(f(t)=10e^{-5t},t\geq 0\) \[E=\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(t)dt=\int_{0}^{+\infty}100e^{ -10t }dt=100\left[ -\frac{1}{10}e^{ -10t } \right]_{0}^{+\infty}=10J \] 因此为能量信号 注意定义式中的\(\int_{-\infty}^{+\infty}\)，与概率论中的积分类似，需要看实际的\(f(t)\)的定义域来变换积分上下限 注意若此处没有\(t\geq0\)的限制，则既不是能量信号又不是功率信号 结论：单边衰减信号为能量信号 \(f(k)=2,k\geq 0\) \[E=\lim_{ N \to \infty }\sum_{k=-N}^N|f(k)|^2=\lim_{ N \to \infty }\sum_{k=0}^N 4=4\lim_{ N \to \infty }(N+1)=\infty \] \[P=\lim_{ N \to \infty } \frac{1}{N+1}·4(N+1)=4W \] 因此为功率信号 注意变量为\(k\)的时候，代表离散时间信号 注意功率除的时间是灵活变化的，具体要看\(\sum\)中求和了多少个点 1.2 基本信号及其时域特性 常见连续信号 指数信号 \[f(t)=Ke^{\alpha t} \] 指数信号对时间求导、积分仍然是指数信号 正弦信号 \[f(t)=A\cos(\omega t-\theta) \] 周期\(T\)，角频率\(\omega\)，频率\(f\)，则有： \[\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f \] 正弦信号对时间求导、积分仍然是正弦信号 根据欧拉公式： \[\begin{align} &e^{ j\omega t }=\cos \omega t+j\sin \omega t\\ \\ &e^{ -j\omega t }=\cos \omega t-j\sin \omega t \end{align} \] 其中\(j\)为虚数单位\(i\) 从而： \[\begin{align} &\cos \omega t= \frac{e^{ j\omega t }+e^{ -j\omega t }}{2}\\ \\ &\sin \omega t= \frac{e^{ j\omega t }-e^{ -j\omega t }}{2j} \end{align} \] 复指数信号 \[\begin{align} f(t)&=Ke^{st}=Ke^{ (\sigma+j\omega)t }\\ \\ &=Ke^{ \sigma t }(\cos\omega t+j\sin \omega t) \end{align} \] 其中\(s=\sigma+jw\)，为一个复数 \(\sigma\)决定增长或衰减 \(\omega\)决定震荡的快慢 复指数信号的不同情形 \(\sigma=0,\omega\neq 0\)：实部和虚部均为等幅振荡，\(f(t)=K(\cos \omega t+j\sin \omega t)\) \(\sigma\neq 0,\omega\neq 0\)：实部和虚部均为增长或衰减震荡，\(f(t)=Ke^{ \sigma t }(\cos\omega t+j\sin \omega t)\) \(\sigma\neq 0,\omega=0\)：实指数信号，\(f(t)=Ke^{ \sigma t }\) \(\sigma=0,\omega\neq 0\)：虚指数信号，\(f(t)=K(\cos \omega t+j\sin \omega t)=Ke^{ j\omega t }\) \(\sigma=\omega=0\)：直流信号，\(f(t)=K\) 抽样信号 \[f(t)=\frac{\sin t}{t}=Sa(t) \] \(Sample\to Sa\)，可以读作“萨” \(Sa(\omega_{0}t)=\frac{\sin \omega_{0}t}{\omega_{0}t}\) 抽样信号的性质 \(Sa(t)\)为\(t\)的偶函数 \(\lim_{ t \to 0 }Sa(t)=\lim_{ t \to \infty } \frac{\sin t}{t}=1,\lim_{ t \to \infty }Sa(t)=0\) 过零点：\(t=n\pi,n=\pm 1,\pm 2,\dots\) \(\int_{0}^{+\infty}Sa(t)dt=\int_{-\infty}^0Sa(t)dt=\frac{\pi}{2}\) \(\int_{-\infty}^{+\infty}Sa(t)=\pi\) 奇异信号 函数本身或其导数、积分有不连续点（即跳变点）的信号 单位斜变信号\(r(t)\) \[r(t)=\begin{cases} 0\ ,t<0\\ \\ t\ ,t\geq 0 \end{cases} \] 小于0的部分全是0 大于0的部分是\(y=x\) 单位阶跃信号\(\varepsilon(t)\) \[\begin{align} &\varepsilon(t)=\begin{cases} 0\ ,t<0\\ \\ 1\ ,t> 0 \end{cases}\\ \\ &\varepsilon(t-t_{0})=\begin{cases} 0\ ,t 1\ ,t>t_{0} \end{cases} \end{align} \] \(\varepsilon(t)\)在\(t=0\)处的函数值没有定义 \(r(t)\)与\(\varepsilon(t)\)的关系 \(r(t)=t·\varepsilon(t)\) \(\varepsilon(t)=\frac{d\ r(t)}{dt}\) \(r(t)=\int_{-\infty}^t\varepsilon(x)dx\) 单位阶跃信号的物理意义 阶跃函数描述了信号的接入特性 \(\varepsilon(t)\)表示信号\(f(t)=1\)在\(t=0\)的时刻接入系统 \(f(t)\varepsilon(t)\)表示信号\(f(t)\)在\(t=0\)的时刻接入系统 \(f(t)\varepsilon(t-t_{0})\)表示信号\(f(t)\)在\(t=t_{0}\)的时刻接入系统 体现在波形上位跳变点或者波形的起始和终止 宽度为\(\tau\)的门函数 \[g_{\tau}(t)=\varepsilon\left( t+\frac{\tau}{2} \right)-\varepsilon\left( t-\frac{\tau}{2} \right) \] \(g\to gate\) 与算法竞赛中的差分类似 符号函数\(sgn(t)\) \[sgn(t)=\begin{cases} -1\quad t<0\\ \\ 1\quad t>0 \end{cases} \] 常用于构造幅度为双极性的信号 单位冲激信号\(\delta(t)\) 矩形脉冲可以视作作用效果（面积）一定，作用时间与作用力大小成反比的力 矩形脉冲持续时间减小，要维持力的效果不变，则需要增大脉冲的幅度 单位冲激信号可以视为作用效果不变，但是作用时间无限小，从而大小无限大的一个力，取脉冲持续时间趋于0，就可以得到单位冲激信号 物理定义： 记宽度为\(\tau\)，幅度为1的矩形脉冲门函数为\(g_{\tau}(t)\)，则冲激信号的定义为： \[\delta(t)=\lim_{ \tau \to 0 } \frac{1}{\tau}g_{\tau}(t)=\lim_{ \tau \to 0 } \frac{1}{\tau} \left[ \varepsilon\left( t+ \frac{\tau}{2} \right)-\varepsilon\left( t- \frac{\tau}{2} \right) \right] \] 狄拉克定义： \[\begin{align} &\delta(t):\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1\\ \\ \delta(t)=0,t\neq0 \end{cases}\\ \\ &\delta(t-t_{0}):\begin{cases} \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_{0})dt=1\\ \\ \delta(t-t_{0})=0,t\neq t_{0} \end{cases} \end{align} \] 在\(t_{0}\)之外的取值全部是0，但是在实数轴上积分为1 广义函数定义： \[\begin{align} &\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\varphi(t)dt=\varphi(0)\\ \\ &\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_{0})\varphi(t)dt=\varphi(t_{0}) \end{align} \] 对于检验函数\(\varphi(t)\)，乘以冲激信号后积分，可以将\(t_{0}\)处的\(\varphi\)值抽取出来，即取样 \(\delta(t)\)的性质 奇偶性：冲激信号为偶函数 与普通函数相乘： \[\begin{cases}f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)\\ \\f(t)\delta(t-t_{0})=f(t_{0})\delta(t-t_{0})\end{cases} \] 取样性质： \[\begin{align}&\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)f(t)dt=f(0)\\ \\&\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_{0})f(t)dt=f(t_{0})\end{align} \] 相当于将\(f(t)\)的值抽取出来 由上一个性质积分而来 \[\int_{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\delta(t-t_{0})dt=\begin{cases}f(t_{0}),\quad t_{0}\in[t_{1},t_{2}]\\ \\0,\quad t_{0}\not\in[t_{1},t_{2}]\end{cases} \] 尺度变换性质： \[\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\ (a\neq 0) \] \[\delta(at-t_{0})=\frac{1}{|a|}\delta\left( t-\frac{t_{0}}{a} \right) \] \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(at-t_{0})dt=\frac{1}{|a|}f\left( \frac{t_{0}}{a} \right) \] \(\delta(t)\)与\(\varepsilon(t)\)的关系： \[\delta(t)=\frac{d}{dt}\varepsilon(t) \] \[\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^t\delta(x)dx \] 若信号的函数值有跳变，则信号在跳变点处的导数为冲激信号，其冲激强度为信号在跳变点处的跳跃值 冲激偶信号\(\delta'(t)\) 冲激偶信号为冲激信号对时间的导数，即$$\delta'(t)=\frac{d}{dt}\delta(t)$$ 假如冲激信号由三角形的不断逼近来定义，那么其导数便是奇函数 \(\delta'(t)\)的性质 奇偶性：冲激偶信号为奇函数，\(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta'(t)dt=0\) 与普通函数相乘： \[\begin{align} &f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t)\\ \\ &f(t)\delta'(t-t_{0})=f(t_{0})\delta'(t-t_{0})-f'(t_{0})\delta(t-t_{0}) \end{align} \] 推导： \[\begin{align} &已知:f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)\ ,\ f'(t)\delta(t)=f'(0)\delta(t)\\ \\ &[f(t)\delta(t)]'=f(t)\delta'(t)+f'(t)\delta(t)\ ,\ 则 f(t)\delta'(t)=[f(0)\delta(t)]'-f'(0)\delta(t)\\ \\ &则f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t)\ 得证 \end{align} \] 记忆：\(\left( \frac{\delta(t)}{f(t)} \right)'\)的分子部分 取样性质： \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta'(t)dt=-f'(0) \] \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta'(t-t_{0})dt=-f'(t_{0}) \] 这两个性质由上一条性质积分而来 可以将函数的负导数抽取出来 尺度变换性质： \[\delta'(at)=\frac{1}{a|a|}\delta'(t)=\frac{1}{sgn(a)·a^2}\delta'(t)\ (a\neq 0) \] 需要特殊记忆分母的区别！ 例4 \[\begin{align} &1)计算\int_{-2}^{2}\cos \frac{\pi t}{2}[\delta'(t-1)+\delta(t+5)]dt:\\ \\ 解:&由于t=-5不在积分区域中\\ \\ &原式=\int_{-2}^2\cos \frac{\pi t}{2}\delta'(t-1)dt=\frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi t}{2}\bigg|_{t=1}=\frac{\pi}{2} \end{align} \] 注意计算前看看\(t_{0}\)是否在积分区域中 \[\begin{align} &2)计算\int_{-\infty}^t(1-\tau)\delta'(2\tau)d\tau:\\ \\ 解:原式&=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^t(1-\tau)\delta'(\tau)d\tau\\ \\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{t}\delta'(\tau)+\delta(\tau)d\tau\\ \\ &=\frac{1}{4}\varepsilon(t)+\frac{1}{4}\delta(t) \end{align} \] 注意各个奇异信号之间的转换 基本离散序列 单位序列\(\delta(k)\) \[\delta(k)=\begin{cases} 1\quad k=0\\ \\ 0\quad k\neq 0 \end{cases} \] \[\delta(k-i)= \begin{cases} 1\quad k=i\\ \\ 0\quad k\neq i \end{cases} \] 取样性质： \[f(k)\delta(k)=f(0)\delta(k)\quad f(k)\delta(k-i)=f(i)\delta(k-i) \] 辨析： \(\delta(k)\)在\(k=0\)的值为1 \(\delta(t)\)在\(t=0\)的幅度无穷大 一个是离散序列，一个是奇异信号 单位阶跃序列\(\varepsilon(k)\) \[\varepsilon(k)=\begin{cases} 1\quad k\geq 0\\ \\ 0\quad k< 0 \end{cases} \] \[\varepsilon(k-i)=\begin{cases} 1\quad k\geq i\\ \\ 0\quad k \end{cases} \] \(\varepsilon(k)\)与\(\delta(k)\)的关系： \[\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)\quad \varepsilon(k)=\sum_{n=0}^\infty \delta(k-n)=\sum_{i=-\infty}^k\delta(i) \] 类比前缀和与差分和的关系 辨析： \(\varepsilon(k)\)在\(k=0\)处有定义，值为1 \(\varepsilon(t)\)在\(t=0\)处无定义或取\(\frac{1}{2}\) 一个是离散序列，一个是奇异信号 单边指数序列 \[f(k)=\alpha^{k}\varepsilon(k)\ ,\ k\in \mathbb{Z} \] 根据\(\alpha\)的正负、\(|\alpha|\)与1的大小关系，可以画出四个不同图像 复指数序列 \[f(k)=e^{a+j\omega_{0}k}=e^{ak}·e^{j\omega_{0}k}=\alpha^ke^{j\omega_{0}k}=\alpha^{k}[\cos \omega_{0}k+j\sin \omega_{0}k]\ (\alpha=e^{a}) \] 类比复指数信号的讨论，分实部虚部讨论即可得到不同的图像 正弦序列 \[f(k)=\cos \omega_{0}k \] 其中\(\omega_{0}\)称为数字角频率 区别于\(f(t)=\cos \omega t\)中的模拟角频率 正弦序列可以视为正弦信号的采样 设连续正弦信号为\(\cos \Omega_{0}t\)，令\(t=kT\)进行采样，则可以得到离散正弦序列\(\cos \Omega_{0}t\bigg|_{t=kt}=\cos \Omega_{0}Tk=\cos \omega_{0}k\) 则有： \[模拟角频率\Omega_{0}\xrightarrow[采样周期T]{\omega_{0}=\Omega_{0}T}数字角频率\omega_{0} \] \[\omega_{0}=\Omega_{0}T=2\pi \frac{T}{T_{0}}=2\pi \frac{f_{0}}{f_{s}} \] 数字角频率是一个相对量，单位为\(rad\)，可以根据模拟角频率和采样周期确定 正弦序列与虚指数序列的周期性 \[f(k+N)=\begin{cases} \cos \omega_{0}(k+N)=\cos(\omega_{0}k+\omega_{0}N)\\ \\ e^{j\omega_{0}(k+N)}=e^{j\omega_{0}k}·e^{j\omega_{0}N} \end{cases} \] \[\begin{align} &若f(k)为周期序列,那么有f(k)=f(k+N)\\ \\ &解得\omega_{0}N=2m\pi,即\ N=m \frac{2\pi}{\omega_{0}}\ ,\ m\in Z,N\in Z \end{align} \] 当\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)为整数时，取\(m=1\)，序列为周期序列，周期\(N=\frac{2\pi}{\omega_{0}}\) 当\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)为有理数时，设\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{P}{Q}\)，\(gcd(P,Q)=1\)，取\(m=Q\)，则序列为周期序列，周期\(N=P\)（等于分子） 当\(\frac{2\pi}{\omega_{0}}\)为无理数时，不存在整数\(N\)，序列不具备周期性 特别地，两个周期序列之和必定为周期序列，周期的计算方式与连续周期信号之和的周期一样 例5 判断序列是否为周期序列，如果是，求周期 \(1)f(k)=5\cos4k\) \(\omega=4, \frac{2\pi}{\omega}=\frac{\pi}{2}\)为无理数，非周期序列 \(2)f(k)=\cos \frac{3\pi}{4}k+\cos \frac{2\pi}{3}k\) \(N_{1}=8,N_{2}=3,N=lcm(N_{1},N_{2})=24\) \(3)f(k)=\cos \frac{\pi}{3k}+e^{j \frac{2\pi}{5}k}\) \(N_{1}=5,N_{2}=6,N=lcm(N_{1},N_{2})=30\) 1.3 信号的基本运算 信号的加乘运算 将同一时刻的值相加或相乘即可 信号的平移 左加右减即可 信号的尺度变换 \(f(t)\to f(at)\)相当于将原信号压缩为\(\frac{1}{a}\)倍 尺度变换的时候需要特别处理对冲激信号的尺度变换：\(\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\) 连续信号的微分与积分 连续信号的微分： \(f'(t)=\frac{d}{dt}f(t)\) 可以体现信号的变化 连续信号的积分： \(f^{(-1)}(t)=\int_{-\infty}^tf(x)dx\) 可以平滑信号的变化 例 \[\begin{align} f(t)&=(1-t)[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)]\\ \\ 则f'(t)&=-\varepsilon(t)+\varepsilon(t-1)+(1-t)[\delta(t)-\delta(t-1)]\\ \\ &=-\varepsilon(t)+\varepsilon(t-1)+\delta(t)\\ \\ \\ 则f^{(-1)}(t)&=\int_{-\infty}^{t}(1-x)[\varepsilon(x)-\varepsilon(x-1)]dx\\ \\ &=\int_{0}^{t}1-x\ dx-\int_{1}^{t}1-x \ dx\\ \\ &=\left[ x-\frac{1}{2}x^{2} \right]\bigg|_{0}^{t}\varepsilon(t)-\left[ x-\frac{1}{2}x^2 \right]\bigg|^{t}_{1}\varepsilon(t-1)\\ \\ &=\left( t-\frac{1}{2}t^{2} \right)\varepsilon(t)-\left( t-\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{2} \right)\varepsilon (t-1)\\ \\ &=\left( t-\frac{1}{2}t^2 \right)[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)]+\frac{1}{2}\varepsilon(t-1) \end{align} \] 在微分过程中，可以通过\(\delta(t)\)的取样性质进行化简 在积分过程中，需要使用\(\varepsilon(t)\)函数对积分上下界进行刻画！ 连续信号的差分与求和 离散序列的差分 一阶前向差分：\(\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)\) 一阶后向差分：\(\nabla f(k)=f(k)-f(k-1)\) 其中\(\Delta,\nabla\)为差分算子 \(\nabla f(k)=\Delta f(k-1)\) 离散序列的求和 \[\begin{align} &\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)=\nabla \varepsilon(k)\\ \\ &\varepsilon(k)=\sum_{j=0}^{+\infty }\delta(k-j)=\sum_{i=-\infty}^{k}\delta(i) \end{align} \] 1.4 系统的描述与分类 系统的描述 系统的数学模型 输入-输出描述法： 着眼于系统的输入与输出的关系，适用于单输入-单输出系统 连续系统常用微分方程进行表征 离散系统常用差分方程进行表征 状态变量描述法： 既可描述输入输出的关系，又可以描述系统内部的状态，更适合调整系统内部参数，实现最优控制 既可以用于单输入-单输出系统，又可以用于多输入-多输出系统 用状态方程和输出方程进行表征 系统的框图描述 用框图表示输入输出的运算关系，每个框图反映一种数学运算功能，若干个框图可以组成一个完整的系统 注意积分器反向走就是求导 连续系统框图与微分方程 如何看图写出系统微分方程： 通过积分器的个数来判断阶数 设最后一个积分器得到的结果为\(x(t)\)，一路往回得到其导数 对左、右加法器列出方程 消去\(x(t)\)得到系统微分方程 图中的系统微分方程： \[\begin{align} &左加法器方程:x''(t)+a_{1}x'(t)+a_{0}x(t)=e(t)\\ \\ &右加法器方程:y(t)=b_{2}x''(t)+b_{1}x'(t)+b_{0}x(t)\\ \\ &左加法器方程中的x换为y,右加法器方程中的x换为e:\\ \\ &y''(t)+a_{1}y'(t)+a_{0}y(t)=b_{2}e''(t)+b_{1}e'(t)+b_{0}e(t) \end{align} \] 离散系统框图与差分方程 如何看图写出系统差分方程： 通过单位延时器的个数判断系统阶数 在第一个单位延时器前面设中间变量\(x(k)\) 对左右加法器列方程 消去中间变量\(x(k)\) 图中的系统差分方程： \[\begin{align} &左加法器方程:x(k)+a_{1}x(k-1)+a_{0}x(k-2)=e(k)\\ \\ &右加法器方程:y(k)=b_{2}x(k)+b_{1}x(k-1)+b_{0}x(k-2)\\ \\ &左加法器方程中的x换为y,右加法器方程中的x换为e:\\ \\ &y(k)+a_{1}y(k-1)+a_{0}y(k-2)=b_{2}e(k)+b_{1}e(k-1)+b_{0}e(k-2) \end{align} \] 系统的分类 连续（时间）系统与离散（时间）系统 连续系统：系统输入和输出均为连续时间信号，用微分方程表征 离散系统：系统输入和输出均为离散时间信号，用差分方程表征 即时（无记忆）系统与动态（记忆）系统 即时系统：系统输出取决于同一时刻的输入，而与历史状态无关，用代数方程表征，如电阻电路 动态系统：输出同时取决于同一时刻的输入与系统的历史状态，用微分/差分方程表征，如\(RLC\)动态电路 线性系统与非线性系统 线性系统：满足均匀性和叠加性 均匀性：系统的激励信号增大\(K\)倍时，系统响应也增大\(K\)倍 叠加性：几个激励信号同时作用于系统时，系统响应等于各个激励信号单独作用于系统的响应之和 \(f(K·x)=K·f(x)\ ,\ f(x+y)=f(x)+f(y)\) 非线性系统：与线性系统相对，不具备均匀性或叠加性 时变系统与时不变系统 时变系统：系统参数随着时间变化 时不变系统：系统参数不随时间变化 因果系统与非因果系统 因果系统：当且仅当输入激励时，系统才会出现响应，即响应不会先于激励 非因果系统：响应先于激励产生的系统 稳定系统与不稳定系统 稳定系统：输入有界，输出也有界的系统 不稳定系统：与稳定系统相对 在这门课程中主要学习线性时不变系统 1.5 线性时不变系统的性质 \(LTI-Linear\ Time\ Invariant\ 线性时不变系统\) \(LSI-Linear\ Shift\ Invariant\ 线性移不变系统\) 线性性质与分解特性 \[y(\cdot)=T[\ e(\cdot)\ ] \] 其中\(T\)为映射 反映了输入-输出关系 线性性质 均匀性：系统的激励增大\(K\)倍时，响应也相应增加\(K\)倍 \[y(\cdot)=T[\ e(\cdot)\ ]\to T[Ke(\cdot)]=K\cdot T[e(\cdot)]=K\cdot y(\cdot) \] 叠加性：几个激励信号同时作用于系统时，系统响应等于各个激励信号单独作用于系统的响应之和 \[T[e_{1}(\cdot)+e_{2}(\cdot)]=T[e_{1}(\cdot)]+T[e_{2}(\cdot)]=y_{1}(\cdot)+y_{2}(\cdot) \] 如何判断系统的线性性 将\(y_{1},y_{2}\)分别用\(e_{1},e_{2}\)表示 对\(y(\cdot)=T[e(\cdot)]\)带入\(ae_{1}+be_{2}\)，对比结果是否等于\(ay_{1}+by_{2}\) 例 判断下列系统是否是线性系统： \[\begin{align} &1)\ y(t)=4 \frac{d}{dt}e(t)\\ \\ &y_{1}(t)=4 \frac{d}{dt}e_{1}(t)\ ,\ y_{2}(t)=4 \frac{d}{dt}e_{2}(t)\\ \\ &4 \frac{d}{dt}[ae_{1}(t)+be_{2}(t)]=a\cdot 4 \frac{d}{dt}e_{1}(t)+b\cdot 4 \frac{d}{dt}e_{2}(t)=ay_{1}(t)+by_{2}(t)\\ \\ &\therefore 是线性系统 \end{align} \] \[\begin{align} &2)\ y(k)=\mathrm{Im}[e(k)]\quad \mathrm{Im}[\cdot]表示取虚部\\ \\ &设e(k)=a(k)+j\cdot b(k)\quad y(k)=\mathrm{Im}[e(k)]=b(k)\\ \\ &令j\cdot e(k)=-b(k)+j\cdot a(k)\quad y_{1}(k)=\mathrm{Im}[j\cdot e(k)]=a(k)\neq j\cdot b(k)\\ \\ &\therefore 不是线性系统 \end{align} \] 注意处理复数的时候，虚数单位\(j\)也可以作为常数来相乘！ 分解特性 \[y(\cdot)=T[\{ x(0) \},\{ e(\cdot) \}]=T[\{ x(0) \},\{ 0 \}]+T[\{ 0 \},\{ e(\cdot) \}]=y_{zi}+y_{zs} \] 动态系统的响应由激励和初始状态共同决定 初始状态集合：\(\{ x(0) \}\) 零输入响应： \(y_{zi}(\cdot)=T[\{ x(0) \},\{ 0 \}]\) \(zi-zero\ input\) 激励为0，仅由初始状态引起的系统响应 零状态响应： \(y_{zs}(\cdot)=T[\{ 0 \},\{ e(\cdot) \}]\) \(zs-zero\ state\) 初始状态为0，仅由激励引起的系统响应 零输入线性 零输入响应对系统的初始状态有线性关系： \[T[ax_{1}(0)+bx_{2}(0)]=aT[x_{1}(0)]+bT[x_{2}(0)]=ay_{zi_{1}}(\cdot)+by_{zi_{2}}(\cdot) \] 零状态线性 零状态响应对系统的激励有线性关系： \[T[ae_{1}(\cdot)+be_{2}(\cdot)]=aT[e_{1}(\cdot)]+bT[e_{2}(\cdot)]=ay_{zs_{1}}(\cdot)+by_{zs_{2}}(\cdot) \] 如何判断系统是否是线性系统 判断是否可以分解为\(y_{zi}(\cdot)+y_{zs}(\cdot)\) 若可分解，判断是否满足零输入线性和零状态线性 例 \[\begin{align} &1)\ y(t)=e(t)x(0)+\int_{0}^{t}\sin x e(x)dx\\ \\ &由于e(t)x(0)为乘积关系,不可分解为y_{zi}+y_{zs}\\ \\ &\therefore 不是线性系统 \end{align} \] \[\begin{align} &2)\ y(t)=x(0)e^{-t}+\int_{0}^{t}e(x)\cos xdx\\ \\ &y_{zi}=x(0)e^{-t},y_{zs}=\int_{0}^{t}e(x)\cos xdx\\ \\ &[ax_{1}(0)+bx_{2}(0)]e^{-t}=ax_{1}(0)e^{-t}+bx_{2}(0)e^{-t}\\ \\ &\therefore y_{zi}为线性\\ \\ & \int_{0}^{t}[ae_{1}(x)+be_{2}(x)]\cos xdx=a\int_{0}^{-t}e_{1}(x)\cos xdx+b\int_{0}^{t}e_{2}(x)\cos xdx\\ \\ &\therefore y_{zs}为线性\\ \\ &\therefore 系统为线性系统 \end{align} \] 时不变性质 \[y_{zs}(\cdot)=T[\{ 0 \},\{ e(\cdot) \}]\to y_{zs}(t-t_{d})=T[\{ 0 \},\{ e(t-t_{d}) \}] \] 时不变系统的响应形式与激励接入系统的时间无关，激励延时，输出也产生相应延时而波形不变 如何判断时不变 原理法： \(y_{1}(t)=T[e(t-t_{d})]\) 比较\(y(t-t_{d})\)与\(y_{1}(t)\)即可 直观法： 若信号之前出现变系数\(f(t)\cdot e(t)\)，或者信号有反转或尺度变换\(e(at+b)\)，则系统为时变系统 需要特别注意的是： 如\(y(t)=e(2t)\)，\(y_{1}(t)=T[e(t-t_{d})]=e(2t-t_{d})\) 对\(e(t-t_{d})\)时域压缩后为\(e(2t-t_{d})\) \(y(t-t_{d})=e(2t-2t_{d})\neq y_{1}(t)\)，所以是时变系统 例 1）： 某\(LTI\)连续系统，输入为\(e_{1}(t)\)时，零状态响应为\(y_{sz_{1}}(t)\)，当输入为\(e_{2}(t)\)时，求该系统的零状态响应\(y_{zs_{2}}(t)\) 观察可知\(e_{2}(t)=e_{1}(t)-e_{1}(t-1)\) 由零状态线性可知：\(y_{zs_{2}}(t)=y_{zs_{1}}(t)-y_{zs_{1}}(t-1)\) 画图即可 2）： 已知\(LTI\)系统： \[\begin{align} &y_{1}(t)=T[\{ x(0) \},\{ e(t) \}]=[2e^{-t}+\cos \pi t]\varepsilon(t)\\ \\ &y_{2}(t)=T[\{ x(0) \},\{ 2e(t) \}]=[3e^{-t}+2\cos \pi t]\varepsilon(t) \end{align} \] 求\(y_{3}(t)=T[\{ 2x(0) \},\{ 5e(t) \}]\)和\(y_{4}(t)=T[\{ 2x(0) \},\{ 5e(t-2) \}]\)： \[\begin{align}解:&\\ \\ &设y_{zi}=x(0),y_{zs}=e(t)\\ \\ &\begin{cases} y_{1}(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=[2e^{-t}+\cos \pi t]\varepsilon(t)\\ \\ y_{2}(t)=y_{zi}(t)+2y_{zs}(t)=[3e^{-t}+2\cos \pi t]\varepsilon(t) \end{cases}\\ \\ &解得:\begin{cases} y_{zi}(t)=e^{-t}\varepsilon(t)\\ \\ y_{zs}(t)=(e^{-t}+\cos \pi t)\varepsilon(t) \end{cases}\\ \\ &则y_{3}(t)=2y_{zi}(t)+5y_{zs}(t)=(7e^{-t}+5\cos \pi t)\varepsilon(t)\\ \\ &y_{4}(t)=2y_{zi}(t)+5y_{zs}(t-2)=2e^{-t}\varepsilon(t)+5[e^{-(t-2)}+\cos \pi t]\varepsilon(t-2) \end{align} \] 微分与积分性质（零状态） \[\begin{align} &对于y_{zs}(t)=T[\{ 0 \},\{ e(t) \}]:\\ \\ &T\left[ \{ 0 \}, \frac{de(t)}{dt} \right]= \frac{dy_{zs}(t)}{dt}\\ \\ &T\left[ \{ 0 \},\int_{-\infty}^{t}e(x)dx \right]=\int_{-\infty}^{t}y_{zs}(x)dx \end{align} \] 激励求导或积分，响应为原响应求导或积分 该性质对于高阶导数或重积分同样适用 因果性与稳定性 因果性 若系统为因果系统，则零状态响应只能在激励产生的瞬间或者之后再出现 \(t=t_{0}\ (k=k_{0})\)时系统响应 只与\(t\leq t_{0}\ (k\leq k_{0})\)时的激励有关 因果信号：\(e(\cdot)=0,t<0或k<0\) 因果系统中，激励为因果信号，响应也一定是因果信号 \(y(t)=e(2t)\)为非因果系统 \(y(t)=e(t)\sin(t+1)\)是因果系统（只与激励有关） 稳定性 稳定系统满足： \[当|e(\cdot)|<\infty时,存在|y_{zs}(\cdot)|<\infty \] 若系统对有界输入的零状态响应也有界，则系统为稳定系统 注意是\(|e(x)|<\infty\)，而\(t\to \infty,k\to \infty\)是可以的 \(y_{zs}(k)=(k-2)e(k)\)，若\(\lim_{ k \to \infty }e(k)=A\)，则\(\lim_{ k \to \infty }(k-2)e(k)=\infty\)，不是稳定系统